设f(x)=log3 (x^2+ax+b)/(x^2+cx+1)是否存在实数a,b,c使定义域是为R的奇函数并在1到正无穷大上是增函数

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设f(x)=log3 (x^2+ax+b)/(x^2+cx+1)是否存在实数a,b,c使定义域是为R的奇函数并在1到正无穷大上是增函数

2022-11-23 10:18:14 11次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设f(x)=log3 (x^2+ax+b)/(x^2+cx+1)是否存在实数a,b,c使定义域是为R的奇函数并在1到正无穷大上是增函数

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

假设存在这样的实数,
由于函数f(x)=log3 (x^2+ax+b)/(x^2+cx+1)在R上为奇函数,故
f(0)=log3 b=0,得b=1
又由于函数在[1,+∞）上为增函数,
我们单独讨论函数在该区间的情况
f(x)=log3 (x^2+ax+1)/(x^2+cx+1)=log3 【1+(a-c)/(x+1/x+c)】
由于函数在R上有意义,故a^2-4<0,c^2-4<0(保证x^2+ax+1=0或x^2+cx+1=0无实根）
又由于在[1,+∞）上,x+1/x为单调增函数,若要整个函数在该区间为增函数,则
a-c<0,即a函数为奇函数,满足f(x)+f(-x)=0,得a^2=c^2
从而,任何满足b=1,-2

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