首页 > 中学数学试题 > 题目详情
阅读下列材料,完成任务: 自相似图形 定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,...
题目内容:
阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为 ;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为 ;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 题.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m,n,b的式子表示).
【答案】(1);(2);(3)A、①;② ;B、①或;②或.
【解析】试题分析:(1)根据相似比的定义求解即可;(2)由勾股定理求得AB=5,根据相似比等于可求得答案;(3)A.①由矩形ABEF∽矩形FECD,列出比例式整理可得;②由每个小矩形都是全等的,可得其边长为b和a,列出比例式整理即可;B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况,根据相似多边形的性质列比例式求解;②由题意可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等,所以DN=b,然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况,根据相似多边形的性质列比例式求解.
【解析】
(1)∵点H是AD的中点,
∴AH=AD,
∵正方形AEOH∽正方形ABCD,
∴相似比为: ==;
故答案为:;
(2)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得,AB=5,
∴△ACD与△ABC相似的相似比为: =,
故答案为:;
(3)A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD,
∴AF:AB=AB:AD,
即a:b=b:a,
∴a=b;
故答案为:
②每个小矩形都是全等的,则其边长为b和a,
则b: a=a:b,
∴a=b;
故答案为:
B、①如图2,
由①②可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等,
∴DN=b,
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD=a,
∴AF=a﹣a=a,
∴AG===a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即a:b=b:a
得:a=b;
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD=,
∴AF=a﹣=,
∴AG==,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a=b;
故答案为:或;
②如图3,
由①②可知纵向m块矩形全等,横向n块矩形也全等,
∴DN=b,
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD=a,
∴AF=a﹣a,
∴AG===a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即a:b=b:a
得:a=b;
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD=,
∴AF=a﹣,
∴AG==,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a=b;
故答案为: b或b.
点睛:本题考查了信息迁移,矩形的性质,相似多边形的性质及分类讨论的数学思想,读懂题意,熟练掌握相似比多边形的性质,正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
【题型】解答题
【结束】
24
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b与x轴交于点A,与y轴交于点B.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(3,0),B(0,3)两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)如图①,动点E从O点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从A点出发,沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动,连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF为直角三角形?
(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
本题链接: