设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则b^2/(a^2+c^2)的最大值

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设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则b^2/(a^2+c^2)的最大值

2022-09-17 04:59:21 21次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,
则b^2/(a^2+c^2)的最大值

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）由条件知f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2时,f(2)＝4a+2b+c≤
1
8
(2+2)2＝2与恒成立,
∴f（2）=2．
（2）∵
4a+2b+c＝2
4a−2b+c＝0
∴4a+c=2b=1,
∴b=
1
2
,c=1-4a
又f（x）≥x恒成立,即ax2+（
1
2
-1）x+1-4a≥0恒成立．
∴a＞0,△＝(
1
2
−1)2−4a(1−4a)≤0,整理得(4a−
1
2
)2≤0
故可以解出：a＝
1
8
,b＝
1
2
,c＝
1
2
,
∴f(x)＝
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
．
（3）解法1：由分析条件知道,只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线y＝
m
2
x+
1
4
上方即可,也就是直线的斜率
m
2
小于直线与抛物线相切时的斜率位置,
于是：
y＝
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
y＝
m
2
x+
1
4
∴m∈(−∞,1+
2
2
)．
解法2：g(x)＝
1
8
x2+(
1
2
−
m
2
)x+
1
2
＞
1
4
在x∈[0,+∞)必须恒成立,
即x2+4（1-m）x+2＞0在x∈[0,+∞）恒成立．
①△＜0,即[4（1-m）]2-8＜0,解得：1−
2
2
＜m＜1+
2
2
；
②
△≥0
−2(1−m)≤0
f(0)＝2＞0
解出：m≤1−
2
2
．又m＝1−
2
2
时,经验证不合题意
总之,m∈(−∞,1+
2
2
)．

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