已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）若直线l

2022-09-21 11:05:37 19次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由抛物线的定义可知，|AF|=x1+

，从而x₁=3．
代入y²=4x，解得y1＝±2

．
∴点A的坐标为（3，2

）或（3，-2

）．（6分）
（2）直线l的方程为y-0=tan45°（x-1），即y=x-1．
与抛物线方程联立，得

y＝x−1

y2＝4x

，（9分）
消y，整理得x²-6x+1=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=6．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x₁+x₂=6+2=8．
所以，线段AB的长是8．（12分）

（1）由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由抛物线的定义可知，|AF|=x1+

，从而x₁=3．由此能得到点A的坐标．
（2）直线l的方程为y=x-1．与抛物线方程联立，得

y＝x−1

y2＝4x

，整理得x²-6x+1=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由抛物线的定义可知线段AB的长．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．

本题链接：