已知抛物线y=4x2-4（m+2）x+m2+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

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已知抛物线y=4x2-4（m+2）x+m2+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

2022-05-27 17:53:28 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5所对应的方程为4x²-4（m+2）x+m²+4m-5=0，
△=[-4（m+2）]²-16（m²+4m-5）=144＞0，
设抛物线与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），
则根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=m+2，x₁x₂=

（m²+4m-5），
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（m+2）²-（m²+4m-5）=9，
∴|x₁-x₂|=3．
抛物线与y轴的交点坐标为（0，m²+4m-5）
∵-5＜m＜1，
∴m²+4m-5=（m+5）（m-1）＜0，
∴三角形ABC的高是（-m²-4m+5），
∴S_△ABC=

（-m²-4m+5）×3=-

（m+2）²+

∴m=-2时，函数有最大值，最大面积是

．

设出抛物线与x轴的两交点坐标，利用根与系数关系得到抛物线与x轴的两个交点间的距离，然后代入三角形的面积公式，配方后求得三角形ABC面积S的最大值．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，关键是明确题中所给条件，借助于一元二次方程的根与系数关系求解，同时训练了利用配方法求二次函数最值，是中档题．

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