类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

2022-05-21 01:07:09 21次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

线的关系类比到面的关系，猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：作业帮

直角空间四面体ABCD中，如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S_△BCD²=

CD2•BE²=

CD2（AB²+AE²）
=

（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=

（AC²AB²+AD²AB²+AC²AE²+AD²AE²）
=

（AC²AB²+AD²AB²+CD²AE²）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²

由勾股定理是平面二维的线与线之间的关系，类比到三维空间可猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD，S_△BCD²=

CD2•BE²
=

CD2（AB²+AE²）=

（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化简即得结论．

本题考点：类比推理．

考点点评：本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想．其中由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．

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