设a＞b＞c，k∈R，且（a-c）•（1a−b+1b−c）≥k恒成立，则k的最大值为（　　）A. 2B. 3C. 4D. 5

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设a＞b＞c，k∈R，且（a-c）•（1a−b+1b−c）≥k恒成立，则k的最大值为（　　）A. 2B. 3C. 4D. 5

2022-07-13 06:01:23 31次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设a＞b＞c，k∈R，且（a-c）•（
1
a−b
+
1
b−c
）≥k恒成立，则k的最大值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵a＞b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0，
∴（a-c）•（

1

a−b

+

1

b−c

）=（a-b+b-c）•（

1

a−b

+

1

b−c

）=2+

b−c

a−b

+

a−b

b−c

≥2+2

b−c

a−b

•

a−b

b−c

=4，当且仅当2b=a+c时取等号．
∵（a-c）•（

1

a−b

+

1

b−c

）≥k恒成立，∴k≤[(a−c)(

1

a−b

+

1

b−c

)]min．
∴k≤4．
故选：C．

由于（a-c）•（

1

a−b

+

1

b−c

）≥k恒成立⇔k≤[(a−c)(

1

a−b

+

1

b−c

)]min．变形利用基本不等式的性质即可得出．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．

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