已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

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已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

2022-07-14 19:14:00 22次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

如图为轴截面，令圆柱的高为h，
底面半径为r，侧面积为S，
则（

h

2

）²+r²=R²，
即h=2

R2−r2

．
∵S=2πrh=4πr•

R2−r2

=4π

r2•(R2−r2)

≤4π

r2+R2−r2

2

=2πR²，
当且仅当r²=R²-r²时取等号，此时内接圆柱底面半径为

2

2

R，高为

2

R．

由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得出圆柱的高为h、底面半径为r与球的半径为R的关系，再用h和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般．

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