求大大帮忙解一条关于矩阵N次幂的题,要详细方法,题在补充里x .1 ..10 x...1...这矩阵是n*n的方阵,求其n次幂......0 0...x

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**求大大帮忙解一条关于矩阵N次幂的题,要详细方法,题在补充里x .1 ..10 x...1...这矩阵是n*n的方阵,求其n次幂......0 0...x**

2022-02-28 21:37:23 28次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

求大大帮忙解一条关于矩阵N次幂的题,要详细方法,题在补充里
x .1 ..1
0 x...1
...这矩阵是n*n的方阵,求其n次幂
...
...
0 0...x

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

令J是0对应的n阶Jordan块,即
J=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
那么题目里的矩阵就是
A=(x-1)I+(I-J)^{-1}
用二项式定理可得
A^n = sum_{k=0..n} C_n^k (x-1)^{n-k}(I-J)^{-k}
用Taylor公式展开(I-J)^{-k},并注意J^n=0得
(I-J)^{-k} = sum_{s=0..n} C_{s+k}^s J^s
交换一下求和次序得到
A^n = sum_{k=0..n} sum_{s=0..n} C_n^k C_{s+k}^s (x-1)^{n-k}J^s
= sum_{s=0..n} [sum_{k=0..n} C_n^k C_{s+k}^s (x-1)^{n-k}] J^s
J^s项的系数就是A^n的第s条对角线的元素大小
大致是这个方法,如果计算有问题的话你自己修正

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求大大帮忙解一条关于矩阵N次幂的题,要详细方法,题在补充里
x .1 ..1
0 x...1
...这矩阵是n*n的方阵,求其n次幂
...
...
0 0...x

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