函数f（x）=2x2−ax−3是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（-∞，0）

2022-01-22 12:53:03 29次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即2(−x)2−a(−x)−3=2x2−ax−3，
∴x²+ax-3=x²-ax-3；
∴a=0，
∴f（x）=2x2−3；
（2）证明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂；
∴

f(x1)

f(x2)

2x12−3

2x22−3

=2(x1+x2)(x1−x2)；
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，
∴

f(x1)

f(x2)

＞1，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（3）由（2）知，f（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴当x∈[-2，0]时，f（-2）=2(−2)2−3=2，f（0）202−3=

；
∴函数f（x）在[-2，0]上的值域是[

，2]．

（1）根据f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），求出a=0；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（3）由（2）得，根据f（x）在[-2，0]的单调性，求出f（x）在[-2，0]上的值域．

本题考点：幂函数图象及其与指数的关系；幂函数的性质．

考点点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．

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