已知函数f（x）=12x2+lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，12x2+lnx＜23x3．

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已知函数f（x）=12x2+lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，12x2+lnx＜23x3．

2022-03-19 12:22:08 47次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）=
1
2
x²+lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，
1
2
x²+lnx＜
2
3
x³．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，∵f′（x）=x+1x，∴f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（2）证明：设g（x）=23x3-12x2-lnx，∴g′（x）=2x2-x-1x，∵当x＞1时，g′（x）=(x−1)(2x2+x+1)x＞0...

（1）确定函数的定义域，求导函数，可得导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（2）构造函数g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，确定g（x）在（1，+∞）上为增函数，即可证得结论．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．

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