设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.

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设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.

2022-10-19 20:46:38 22次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x 可求得p(x)=x(1-e^x)/e^x (1)
将(1)代入微分方程xy'+p(x)y=x 可求出其齐次方程的通解为y=Ce^[x+e^(-x)] (其中C为任意常数)
所以可设微分方程xy'+p(x)y=x的通解为y=u(x)e^[x+e^(-x)] (2)
将(2)代入微分方程xy'+p(x)y=x 可求出其通解为y=Ce^[x+e^(-x)]+ e^[x+e^(-x)]f(x)
其中f(x)为e^[x+e^(-x)]的不定积分
根据条件y|x-ln2=0可求得特解为y=C{e^[x+e^(-x)]+(ln2)e^x} (其中C为任意常数)

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