王老师
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你陷入了一种误区,由于二重积分只有两个变量,所以你误认为二重积分是在二维坐标系下的了.
实际上二重积分隐含了一个因变量,所谓的“二重积分积出来一个体积”这个说法就是基于因变量是三维坐标系下z的坐标得出的.
首先回想积分,∫ f(x)dx在数学上表示什么含义?表示的是x在x等于某数例如x0的时候,f(x)可以得到确切的值,如果我们加入一个坐标轴y,那我们就可以用(x0,f(x0))来表示一个点,并可以得到（x0,0）与(x0,f(x0))之间的连线.当给x不同的值的时候,一个x就对应一个y,明显这条线也动了起来,然后就得到了一个平面,这个平面面积的大小就是积分的数值.加上积分限以后无非是给x一个移动范围而已.
然后看重积分,我们同样给它加上一个坐标轴,让z=f(x,y),那么每一个x,y给它一个值都能算出来一个z,这样(x,y,z)就能得到一个点,同样的,我们也就能得到（x,y,f(x,y)）到(x,y,0)的连线,然后给x,y不同的值,并且给它们一个移动的范围（就是积分限）让这条线动起来,这条线取到所有可以积分限内的点,那就构成了一个立体,这个立体的体积就是积分算出来的数值.
我们只需要x的信息就可以算出来f(x)在二维坐标系下与x轴之间的面积,但是你绝对不可能简单的只从一维坐标系下考虑 ∫ f(x)dx,因为y的信息实际上隐含了.同样也不可能只通二维坐标系下考虑二重积分,因为实际隐含了一个z坐标轴的信息.
至于算面积的话那就不是重积分的几何意义了,那得引入新的东西,这个恐怕要等您高数学完才能解决了.
