已知椭圆x方/a方+ y方/b方=1的右焦点F(1,0),长轴的左右顶点分别为A1,A2,且FA1向量点乘FA2向量=-

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已知椭圆x方/a方+ y方/b方=1的右焦点F(1,0),长轴的左右顶点分别为A1,A2,且FA1向量点乘FA2向量=-

2022-11-03 03:57:19 12次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知椭圆x方/a方+ y方/b方=1的右焦点F(1,0),长轴的左右顶点分别为A1,A2,且FA1向量点乘FA2向量=-1
（1)求椭圆方程（2）过焦点F,斜率为k（k不等于0）的直线交椭圆于A,B两点,弦AB的中垂线与x轴交于D,试问椭圆上是否存在点E,使得四边形ADBE为菱形?若存在,求点E到y轴的距离,若不存在,请说明理由.

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

F(1,0),A1(-a,0),A2(a,0)
FA1=(-a-1,0),FA2=(a-1,0)
FA1*FA2=1-a^2=-1
a^2=2
b^2=a^2-c^2=2-1=1
故椭圆方程是 x^2/2+y^2=1.
(2)直线l方程为：y=k(x-1)
代人x^2/2+y^2=1得：
x^2/2+k^2(x-1)^2=1
(1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-2=0
(x1+x2)/2=2k^2/(1+2k^2)
所以
(y1+y2)/2=k[2k^2/(1+2k^2)-1]=-k/(1+2k^2)
即M坐标是(2k^2/(1+2k^2),-k/(1+2k^2)
所以,AB中垂线方程为：y+k/(1+2k^2)=-1/k*(x-2k^2/(1+2k^2))
y=0时
-k^2/(1+2k^2)=x-2k^2/(1+2k^2)
x=k^2/(1+2k^2)
所以,D坐标是(k^2/(1+2k^2),0)
又因为四边形为菱形,则有Xd+Xe=2Xm,Yd+Ye=2Ym
所以,E坐标是(3k^2/(1+2k^2),-2k/(1+2k^2))
又E在椭圆上,则有[3k^2/(1+2k^2)]^2+2[-2k/(1+2k^2)]^2=2
9k^4+8k^2=2(1+4k^2+4k^4)
k^4=2
k^2=根号2
故E到Y轴的距离是Xe=3根号2/(1+2根号2)=3根号2(2根号2-1)/(8-1)=(12-3根号2)/7

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