已知函数f（x）=bx+12x+a，a、b为常数，且ab≠2，若对一切x恒有f（x）f（1x）=k（k为常数）则k=______．

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已知函数f（x）=bx+12x+a，a、b为常数，且ab≠2，若对一切x恒有f（x）f（1x）=k（k为常数）则k=______．

2022-11-09 23:01:55 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）=
bx+1
2x+a
，a、b为常数，且ab≠2，若对一切x恒有f（x）f（
1
x
）=k（k为常数）则k=______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵f（x）=

bx+1

2x+a

，∴f（

1

x

）=

b

1

x

+1

2

1

x

+a

=

b+x

2+ax

，
则f（x）f（

1

x

）=

bx+1

2x+a

•

b+x

2+ax

则f（x）f（

1

x

）-k=

(bx+1)(b+x)−k(2x+a)(2+ax)

(2x+a)(2+ax)

=

(b−2ak)x2+(b2+1−4k−ka2)x+b−2ak

(2x+a)(2+ax)

=0恒成立．
则

b−2ak＝0

b2+1−4k−a2k＝0

消去b可得
4a²k²-（4+a²）k+1=0，
解得，k=

1

4

，k=

1

a2

．
若k=

1

a2

，则b=2ak=

2

a

，则ab=2，
与ab≠2相矛盾，舍去．
则k=

1

4

．
故答案为

1

4

．

由f（x）求出f（

1

x

），再由f（x）f（

1

x

）=k化简求出k值，而后验证．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查了函数与恒成立问题，化简很容易出错，要细致．

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