已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1a2−a1+1a3−a2+…+1an+1−an＜1．

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**已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1a2−a1+1a3−a2+…+1an+1−an＜1．**

2022-05-03 04:28:09 35次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
a2−a1
+
1
a3−a2
+…+
1
an+1−an
＜1．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（I）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）证明：因为

1

an+1−an

=

1

2n+1−2n

=

1

2n

，
所以

1

a2−a1

+

1

a3−a2

+…+

1

an+1−an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

2

−

1

2n

×

1

2

1−

1

2

=1-

1

2n

＜1，
即得证．

（1）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．根据a₁和a₃的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log₂（a_n-1）}的通项公式，进而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入

1

a2−a1

+

1

a3−a2

+…+

1

an+1−an

中，进而根据等比数列的求和公式求得

1

a2−a1

+

1

a3−a2

+…+

1

an+1−an

=1-

1

2n

原式得证．

本题考点：等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；不等式的证明．

考点点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．

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