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数学奥林匹克高中训练题_ 17考试试题及答案
1:
已知函数.则不等式的解集为______.......
2:
设是定义在定义域上的函数.若对任何实数以及中的任意两数、,恒有 ,则称为定义在上的函数. (1)已知是上的函数,是给定的正整数.设,且,,记.对于满足条件的任意函数,试求的最大值. (2)若是定义域为.........
3:
用部分自然数构造如图的数表:用表示第行第个数,使.每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第行中各数之和为.试问:数列中是否存在不同的三项、、恰好成等差数列?若存在,求出、、的关系;若不存.........
4:
如图,已知抛物线与直线,点在直线上移动.过作抛物线的两条切线,切点分别为、,线段的中点为. (1)求点的轨迹; (2)求的最小值.......
5:
将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一行,从左至右依次对应序号1,2,…,8.若同色球之间不加区分,则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列共有______种.......
6:
若、、均是整数,且使得.则的值是______.......
7:
已知为数列的前项和, ,,.若,且存在,对于任意的,不等式成立.则的值为______.......
8:
三脚架的三只脚各长5,两两的夹角彼此相等且固定.将它立在地面上时,顶端距地面的高度为4.后来一只脚损坏,底部截去长度1.再立在地面上时,顶端距地面的高度变为______.......
9:
已知、是函数的图像上的任意两点(可以重合),点在直线上,且.则的值为______.......
10:
平面直角坐标系中,两个圆有公共点且都与轴相切,它们的半径之积为68.如果它们的另一条外公切线也过原点,则它的斜率为______.......
11:
从等差数列2,5,8,11,…中取项,使其倒数和为1.则的最小值是______.......
12:
设是20个两两不同的正整数,且集合中有201个不同的元素.求集合中不同元素个数的最小可能值.......
13:
设自然数满足.对的任一个排列,取最小的,使至少小于中个数.已知满足的数列的个数为.求的值.......
14:
设为任意给定的质数.证明:一定存在质数,使得对任意的整数,数都不能被整除.......
15:
如图, 为的角平分线,、分别为、的内心,以为底作等腰,使.求证:.......
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