1998年全国高中数学联合竞赛试卷考试题库

1998年全国高中数学联合竞赛试卷考试试题及答案

1：中，，，，是的中点．将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积等于______．......
2：已知椭圆与抛物线有公共点.则a的取值范围是_______.......
3：各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100．这样的数列至多有______项．......
4：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有______．......
5：设复数，复数、、在复平面上对应的三个点分别是、、．当、、不共线时，以线段、为两边的平行四边形的第四个顶点为．则点到原点距离的最大值是______．......
6：若是以2为周期的偶函数，当时，，则，，由小到大的排列是______．......
7：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（）． A. 57 B. 49 C. 43 D. 37......
8：设、、分别是正四面体的棱、、的中点．则二面角的大小是（）． A. B. C. D.......
9：设命题：关于的不等式与的解集相同；命题：．则命题（）． A. 是命题的充分必要条件 B. 是命题的充分条件但不是必要条件 C. 是命题的必要条件但不是充分条件 D. 既不是命题的充分条件也不是命题的.........
10：各项均为实数的等比数列前项之和记为．若，，则等于（）． A. 150 B. C. 150或 D. 400或......
11：对于正整数、，定义，其中、为非负整数，，且．求最大的正整数，使得存在正整数，对于任意的正整数，都有．证明你的结论．......
12：设且．求证：．并问：等号成立的充要条件．......
13：如图，、分别为的外心和内心，是边上的高，在线段上．求证：的外接圆半径等于边上的旁切圆半径．注：的边上的旁切圆是与边、的延长线以及边都相切的圆．......
14：已知抛物线及定点、．是抛物线上的点，设直线、与抛物线的另一交点分别为、．求证：当点在抛物线上变动时（只要、存在且），直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．......
15：设函数．对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立．问：为何值时最大？求出这个最大的．证明你的结论．......
16：已知复数．求的共轭复数的幅角主值．......

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