数学奥林匹克高中训练题_54考试题库

数学奥林匹克高中训练题_54考试试题及答案

1：已知的三边长为、、.若、、顺序成等差数列，则（）. A. 必为锐角 B. 必为直角 C. 必为钝角 D. 不能确定，与、、的值无关......
2：如图所示，已知平面上的3条线段、、，现以、为邻边做平行四边形，对角线为；以、为邻边作平行四边形，对角线为；以、为邻边作平行四边形，对角线为；以、为邻边作平行四边形，对角线为.则有不等式______.......
3：如图所示，四棱锥中，为了推出，还需要从下述条件中选出一些条件来： ①面， ②， ③， ④面， ⑤， ⑥面， ⑦面， ⑧。比如，选⑦为条件，有⑦；又如选③、⑤为条件，有.现要求推理至少用到两条定理，推.........
4：已知，则的最大值为 .......
5：若、均为非零整数，且满足方程，则称为方程的非零整数解.下列关于本方程非零整数解的判断中，为真命题的是（） A. 非零整数解不存在 B. 存在有限个非零整数解 C. 存在无限个非零整数解，不在一、三象.........
6：已知平行直线与同心圆系的交点为.当取最小值时，的取值为（） A. 1 B. C. D.......
7：如图所示，有一容积为1的单位立方体容器，在棱，及对角线的中点各有一个孔、、.若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积为（） A. 立方单位 B. 立方单位 C. 立方单位 D. 立方单位......
8：已知，，，且.则与的函数关系为（） A. B. C. D.......
9：已知，.则乘积函数在公共定义域上的奇偶性为（） A. 是奇函数而不是偶函数 B. 是偶函数而不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既非奇函数又非偶函数......
10：凸边形玫瑰园的个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路想通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形、……），每块区域都栽有一棵白玫瑰（或.........
11：某运动队的队员编号无重复地取自正整数1到100.如果其中任一队员的编号都不是另两队员编号之和，也不是另外某一队员的2倍，问这个运动队最多有几个人？......
12：如图所示，延长凸五边形的各边，在它的外部得五个三角形：，，，，. 求证：这五个三角形外接圆的五个交点、、、、在同一圆上.......
13：已知实系数二次函数，有，且当（为任意实数）时，.求证：对，有.......
14：球场上的一个篮球在点光源的照射下，其阴影是一个椭圆。试讨论篮球与地面的接触点是否为阴影椭圆的焦点，并说明理由.......
15：已知函数在上有定义，，且满足，有. （1）证明：在上为奇函数；（2）对数列，，求；（3）证明恒等式.......
16：与正四面体4个顶点距离之比为的平面有______个.......
17：已知.则______.......
18：从抛物线的顶点引两条互相垂直的弦、，作.则点的轨迹方程为______.......

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