题目内容：

求函数y=x^x的单调性?这个函数可以求导么?
x>0这个函数算不算复合函数？若能解决 再判断下y=（1+1/x）^x这个函数同样的问题
重点求这个函数y=（1+1/x）^x的单调性!

优质解答

1.这个函数可以求导,易知该函数的定义域为X＞0
∵x=e^lnx
设f(x)=x^x=e^(xlnx)
f′(x)=e^(xlnx)·(xlnx)′
=e^(xlnx)·(1+lnx)=x^x(1+lnx)
令f′(x)＞0,解得x>1/e
f′(x)＜0,解得0

追答：

这里要用到一个重要的函数极限，limx→﹢∞（1+1/x）^x=e [（1+1/x）^x]′=（1+1/x）^x[ln(1+1/x)﹣1/1+x] ∵在﹙0，+∞﹚上，（1+1/x）^x＞0恒成立 ∴只需判断ln(1+1/x)﹣1/1+x的符号 对h(x)=ln(1+1/x)﹣1/1+x求导得，h′(x)＝-1/x(x+1)²＜0 ∴h(x)=ln(1+1/x)﹣1/﹙1+x﹚在﹙0，+∞﹚上单调递减 ∵ln(1+1/x)﹣1/﹙1+x﹚=[（x+1）ln(1+1/x)﹣1]／(x+1) 又∵（x+1）ln(1+1/x)＞xln(1+1/x) 根据极限的保不等式性 limx→﹢∞（x+1）ln(1+1/x)＞limx→﹢∞xln(1+1/x)=limx→﹢∞ ln(1+1/x)^x=lne=1 ∴limx→﹢∞（x+1）ln(1+1/x)＞1 ∴在﹙0，+∞﹚上（x+1）ln(1+1/x)﹣1＞0恒成立 ∴[（x+1）ln(1+1/x)﹣1]／（x+1）＞0 即ln(1+1/x)﹣1/1+x＞0 ∴（1+1/x）^x[ln(1+1/x)﹣1/1+x]＞0 ∴﹙1+1/x﹚^x在﹙0,﹢∞﹚上单调递增

追答：

这是一个重要的极限，是前几倍的数学家发现的