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【在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.二面角B-AP-C的大小______.】
题目内容:
在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.二面角B-AP-C的大小______.优质解答
∵AC=BC,PA=PAB,∴△APC≌△BPC,又 PC⊥AC,∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即 AC⊥BC,且 AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E,连接BE,CE.∵BA=BP,∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影,
∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=3
2
AB=6
,∴sin∠BEC=BC BE
=6
3
.
∴二面角B-AP-C的正弦值为 6
3
.
优质解答
∵AC=BC,PA=PAB,∴△APC≌△BPC,又 PC⊥AC,∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即 AC⊥BC,且 AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E,连接BE,CE.∵BA=BP,∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影,
∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=
| ||
2 |
6 |
BC |
BE |
| ||
3 |
∴二面角B-AP-C的正弦值为
| ||
3 |
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