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如图,AB是⊙O的直径,P点在AB的延长线上,弦CD⊥AB于E,∠PCE=2∠BDC.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若AE:EB=2:1,PB=6,求弦CD的长.
题目内容:
如图,AB是⊙O的直径,P点在AB的延长线上,弦CD⊥AB于E,∠PCE=2∠BDC.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=2:1,PB=6,求弦CD的长.优质解答
(1)证明:连接OC,
∵∠PCE=2∠BDC,
∴∠PCE=∠COB,
∵CD⊥AB,
∴∠COE+∠OCE=90°,
∴∠OCE+∠DCP=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AE:EB=2:1,
∵CD⊥AB,OC⊥CP,
∴OC2=OP•OE,
设EB=x,则AE=2x,OE=x 2
,OC=3x 2
,
∴(3x 2
)2=(3x 2
+6)•x 2
解方程得:x1=0(舍去),x2=2,
∴OE=1,OC=3,
∴CE=OC2−OE2
=22
,
∴CD=2CE=42
.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=2:1,PB=6,求弦CD的长.
优质解答
∵∠PCE=2∠BDC,
∴∠PCE=∠COB,
∵CD⊥AB,
∴∠COE+∠OCE=90°,
∴∠OCE+∠DCP=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AE:EB=2:1,
∵CD⊥AB,OC⊥CP,
∴OC2=OP•OE,
设EB=x,则AE=2x,OE=
x |
2 |
3x |
2 |
∴(
3x |
2 |
3x |
2 |
x |
2 |
解方程得:x1=0(舍去),x2=2,
∴OE=1,OC=3,
∴CE=
OC2−OE2 |
2 |
∴CD=2CE=4
2 |
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