题目内容：

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为

2

的正方形，侧棱长为

3

，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C．

优质解答

证明：如图，∵E、F分别是AB₁、CB₁的中点，
∴EF∥AC．
∵AB₁=CB₁，
O为AC的中点，
∴B₁O⊥AC．
故B₁O⊥EF．
在Rt△B₁BO中，∵BB₁=

3

，BO=1，
∴∠BB₁O=30°．从而∠OB₁D₁=60°，又B₁D₁=2，B₁O₁=

1

2

OB₁=1（O₁为B₁O与EF的交点）．
∴△D₁B₁O₁是直角三角形，即B₁O⊥D₁O₁．
∴B₁O⊥平面D₁EF．又B₁O⊂平面ACB₁，
∴平面D₁EF⊥平面AB₁C．