题目内容：

（2014•开封模拟）若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1的焦点在x轴上，过点（1，

1

2

 ）作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（　　）
A.

x2

9

+

y2

4

＝1
B.

x2

4

+

y2

5

＝1
C.

x2

5

+

y2

4

＝1
D.

x2

9

+

y2

5

＝1

优质解答

设过点（1，

1

2

 ）的圆x²+y²=1的切线为l：y-

1

2

=k（x-1），即kx-y-k+

1

2

=0
①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x²+y²=1相切于点A（1，0）；
②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d=

|−k+ 1 2 |

k2+1

=1，解之得k=-

3

4

，
此时直线l的方程为y=-

3

4

x+

5

4

，l切圆x²+y²=1相切于点B（

3

5

，

4

5

）；
因此，直线AB斜率为k₁=

0− 4 5

1− 3 5

=-2，直线AB方程为y=-2（x-1）
∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．
椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

＝1
故选C