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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠
题目内容:
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若BC=2,BD=5 2
,求AD AO
的值.优质解答
(1)直线BD与⊙O相切.
证明:如图1,连接OD.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO.
∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°.
又∵∠CBD=∠A,
∴∠ADO+∠CDB=90°.
∴∠ODB=90°.
∴直线BD与⊙O相切.
(2)解法一:如图1,连接DE.
∵∠C=90°,BC=2,BD=5 2
∴cos∠CBD=BC BD
=4 5
.
∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°.
∴cosA=AD AE
.
∵∠CBD=∠A,
∴AD AE
=BC BD
=4 5
.
∵AE=2AO,
∴AD AO
=8 5
.
解法二:如图2,过点O作OH⊥AD于点H.
∴AH=DH=1 2
AD.
∴cosA=AH AO
∵∠C=90°,BC=2,BD=5 2
∴cos∠CBD=BC BD
=4 5
.
∵∠CBD=∠A,
∴AH AO
=BC BD
=4 5
.
∴AD AO
=8 5
.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若BC=2,BD=
5 |
2 |
AD |
AO |
优质解答
证明:如图1,连接OD.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO.
∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°.
又∵∠CBD=∠A,
∴∠ADO+∠CDB=90°.
∴∠ODB=90°.
∴直线BD与⊙O相切.
(2)解法一:如图1,连接DE.
∵∠C=90°,BC=2,BD=
5 |
2 |
∴cos∠CBD=
BC |
BD |
4 |
5 |
∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°.
∴cosA=
AD |
AE |
∵∠CBD=∠A,
∴
AD |
AE |
BC |
BD |
4 |
5 |
∵AE=2AO,
∴
AD |
AO |
8 |
5 |
解法二:如图2,过点O作OH⊥AD于点H.
∴AH=DH=
1 |
2 |
∴cosA=
AH |
AO |
∵∠C=90°,BC=2,BD=
5 |
2 |
∴cos∠CBD=
BC |
BD |
4 |
5 |
∵∠CBD=∠A,
∴
AH |
AO |
BC |
BD |
4 |
5 |
∴
AD |
AO |
8 |
5 |
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