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在对角线有相同长度d的所有矩形中.(1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值;(2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值.
题目内容:
在对角线有相同长度d的所有矩形中.
(1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值;
(2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值.优质解答
(1)设矩形的两邻边长分别为x,y,
由题意可得x2+y2=d2,
∴矩形周长c=2(x+y),
∴c2=4(x+y)2=4(x2+y2+2xy)
≤4(x2+y2+x2+y2)=8d2,
当且仅当x=y,即矩形为正方形时,c2取到最大值8d2,
周长取到最大值22
d;
(2)由(1)矩形面积S=xy=1 2
•2xy≤1 2
(x2+y2)=d2 2
当且仅当x=y,即矩形为正方形时,矩形面积的最大值d2 2
.
(1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值;
(2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值.
优质解答
由题意可得x2+y2=d2,
∴矩形周长c=2(x+y),
∴c2=4(x+y)2=4(x2+y2+2xy)
≤4(x2+y2+x2+y2)=8d2,
当且仅当x=y,即矩形为正方形时,c2取到最大值8d2,
周长取到最大值2
2 |
(2)由(1)矩形面积S=xy=
1 |
2 |
1 |
2 |
d2 |
2 |
当且仅当x=y,即矩形为正方形时,矩形面积的最大值
d2 |
2 |
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