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设双曲线x29−y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为______.
题目内容:
设双曲线x2 9
−y2 16
=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为______.优质解答
根据题意,得a2=9,b2=16,
∴c=a2+b2
=5,且A(3,0),F(5,0),
∵双曲线x2 9
−y2 16
=1的渐近线方程为y=±4 3
x
∴直线BF的方程为y=±4 3
(x-5),
①若直线BF的方程为y=4 3
(x-5),与渐近线y=-4 3
x交于点B(5 2
,-10 3
)
此时S△AFB=1 2
|AF|•|yB|=1 2
•2•10 3
=10 3
;
②若直线BF的方程为y=-4 3
(x-5),与渐近线y=4 3
x交点B(5 2
,10 3
)
此时S△AFB=1 2
|AF|•|yB|=1 2
•2•10 3
=10 3
.
因此,△AFB的面积为10 3
故答案为:10 3
x2 |
9 |
y2 |
16 |
优质解答
∴c=
a2+b2 |
∵双曲线
x2 |
9 |
y2 |
16 |
4 |
3 |
∴直线BF的方程为y=±
4 |
3 |
①若直线BF的方程为y=
4 |
3 |
4 |
3 |
5 |
2 |
10 |
3 |
此时S△AFB=
1 |
2 |
1 |
2 |
10 |
3 |
10 |
3 |
②若直线BF的方程为y=-
4 |
3 |
4 |
3 |
5 |
2 |
10 |
3 |
此时S△AFB=
1 |
2 |
1 |
2 |
10 |
3 |
10 |
3 |
因此,△AFB的面积为
10 |
3 |
故答案为:
10 |
3 |
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