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费马点带图证明
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费马点的小论文
费马(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律师和法国政府的公务员,他利用闲暇的时间研究数学,他从未发表他的研究发现,但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信.曾经,费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心.
费马点的定义
费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点.
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点.
费马点的证明
证明一
Part1当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P
延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP,PC'=PC,（说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
Part2当所有内角都小于120°时
做出△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点,如图,再作任一异于P的点P',连结P'A,P'B,P'C,过P'作P'H垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S
则有2S=d(PA+PB+PC)
∵P'A≥P'H
所以2S△EP'F≤P'A×d
同理有
2S△DP'F≤P'B×d
2S△EP'D≤P'C×d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,当且仅当P,P'重合时取到等号
所以P是费马点
证明二
如右图所示,⊿ABE、⊿ACH、⊿BCG均为等边三角形,连接AG、CE、BH,CE与AB相交于F,则：
∵⊿AEC≌⊿ABH,
∴∠1=∠2,∴⊿BFP∽⊿EFA ,∠3 =∠4=60°
在PE上取点D ,使得 ⊿DBP为正三角形
则⊿ABP≌⊿EBD,得 AP=ED
∴PA+PB+PC=DE+PD+PC=CE
费马点的应用
(1)一条河宽1km,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是4km,今须铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆修建费用为2万元/km,水下电缆为4万元/km,假定河两岸是直线,问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小?
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上,须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发,可沿此网络中的线达到别的点),问此网络应以什么方式连接这四个点,方可使所用的线总长最小?