题目内容：

如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.

优质解答

设AB＝2m、AD＝2n.令CD的中点为E.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM、PA⊥AD,又△PAD是等腰三角形,∴PA＝AD＝2n.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝2n、BC⊥BM.
∵AM＝BM、AB＝2m,∴AM＝BM＝m.
由勾股定理,有：
PM＝√（PA^2＋AM^2）＝√（4n^2＋m^2）、　CM＝√（BM^2＋BC^2）＝√（4n^2＋m^2）.
∴PM＝CM,又PN＝CN,∴MN⊥PC.
由勾股定理,还有：
AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（4n^2＋4m^2）、　PD＝√（PA^2＋AD^2）＝2√2n.
∵PN＝CN、CE＝DE,∴NE是△CDP的中位线,∴NE＝PD/2＝√2n.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,∴由勾股定理,有：
PC＝√（PA^2＋AC^2）＝√（4n^2＋4m^2＋4n^2）＝2√（2n^2＋m^2）,
∴NC＝√（2n^2＋m^2）.
∴MN＝√（CM^2－NC^2）＝√（4n^2＋m^2－2n^2－m^2）＝√2n.
∵ABCD是矩形,又M、E分别是AB、CD的中点,∴ME＝AD＝2n.
∴由MN＝√2n、NE＝√2n、ME＝2n,得：MN^2＋NE^2＝ME^2,
∴由勾股定理的逆定理,有：MN⊥NE.
由MN⊥PC、MN⊥NE、PC∩NE＝N,得：MN⊥平面PCE,即：MN⊥平面PCD.

追问：

我要空间坐标的

追答：

以A为原点，AD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴、AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并使点N处于第一卦限内。 令AD＝2a、AB＝2b。则： 点A的坐标是（0，0，0）、点B的坐标是（0，2b，0）、点D的坐标是（2a，0，0）。 ∵ABCD是矩形，∴点C的坐标是（2a，2b，0）。 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，而△PAD是等腰三角形，∴PA＝AD， ∴点P的坐标是（0，0，2a）。 ∵M是AB的中点，∴由中点坐标公式，得：点M的坐标是（0，b，0）。 ∵N是PC的中点，∴由中点坐标公式，得：点N的坐标是（a，b，a）。 ∴向量MN＝（a，0，a）。 容易求出： 向量CD＝（0，－2b，0）、向量PD＝（2a，0，－2a）、向量PC＝（2a，2b，－2a）。 设向量DE是平面PCD的法向量，且点E的坐标是（c，d，e）。 ∴向量DE＝（c－2a，d，e）。 显然有：向量DE·向量PD＝0、向量DE·向量CD＝0。 ∴2a（c－2a）－2ae＝0、－2bd＝0。∴c－2a＝e、d＝0。∴向量DE＝（e，0，e）。 由向量向量MN＝（a，0，a）、向量DE＝（e，0，e），得：向量MN∥向量DE， ∴MN⊥平面PCD。