题目内容：

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．
（1）P点的坐标为______（用含t的代数式表示）；
（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；
（3）当t=______秒时，S有最大值，最大值是______；
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

优质解答

（1）（4-t，

3t

4

）；
（2）S=-

3

8

t²+

3

2

t（0＜t＜4）；
（3）由（2）知：S=-

3

8

t²+

3

2

t=-

3

8

（t-2）²+

3

2

，
因此当t=2时，S_max=

3

2

；
（4）由（3）知，当S有最大值时，t=2，此时N在BC的中点处，如图，
设Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ²=16+y²，QN²=4+（3-y）²，AN²=13，
∵△QAN为等腰三角形，
①若AQ=AN，此时方程无解，
②若AQ=QN，解得y=−

1

2

，
③若QN=AN，解得y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，−

1

2

），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
当Q为（0，−

1

2

），直线AQ的解析式为y=

x

8

−

1

2

，
当Q为（0，0）时，A（4，0）、Q（0，0）均在x轴上，
直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴），
当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去，
故直线AQ的解析式为y=

x

8

−

1

2

或y=0．