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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为(4,0),顶点G坐标为(0,2).将矩形OEFG绕点O逆时针
题目内容:
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为(4,0),顶点G坐标为(0,2).将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点.
(1)判断△OGA和△NPO是否相似,并说明理由;
(2)求过点A的反比例函数解析式;
(3)若(2)中求出的反比例函数的图象与EF交于B点,请探索:直线AB与OM是否垂直,并说明理由.优质解答
(1)△OGA和△NPO相似.理由如下:
∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°,
∴∠PON+∠PNO=90°,∠GOA+∠PON=90°,
∴∠PNO=∠GOA,
∴△OGA∽△NPO;
(2)∵E点坐标为(4,0),G点坐标为(0,2),
∴OE=4,OG=2,
∴OP=OG=2,PN=GF=OE=4,
∵△OGA∽△NPO,
∴OG:NP=GA:OP,即2:4=GA:2,
∴GA=1,
∴A点坐标为(1,2),
设过点A的反比例函数解析式为y=k x
,
把A(1,2)代入y=k x
得k=1×2=2,
∴过点A的反比例函数解析式为y=2 x
;
(3)直线AB与OM垂直.理由如下:
把x=4代入y=2 x
中得y=1 2
,
∴B点坐标为(4,1 2
),
∴BF=2-1 2
=3 2
,
而A点坐标为(1,2),
∴AG=1,AF=4-1=3,
∴OG:AF=2:3,GA:FB=1:3 2
=2:3,
∴OG:AF=GA:FB,
而∠OGA=∠F,
∴△OGA∽△AFB,
∴∠GAO=∠ABF,
∵∠ABF+∠BAF=90°,
∴∠GAO+∠BAF=90°,
∴∠OAB=90°,
∴直线AB与OM垂直.
(1)判断△OGA和△NPO是否相似,并说明理由;
(2)求过点A的反比例函数解析式;
(3)若(2)中求出的反比例函数的图象与EF交于B点,请探索:直线AB与OM是否垂直,并说明理由.
优质解答
∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°,
∴∠PON+∠PNO=90°,∠GOA+∠PON=90°,
∴∠PNO=∠GOA,
∴△OGA∽△NPO;
(2)∵E点坐标为(4,0),G点坐标为(0,2),
∴OE=4,OG=2,
∴OP=OG=2,PN=GF=OE=4,
∵△OGA∽△NPO,
∴OG:NP=GA:OP,即2:4=GA:2,
∴GA=1,
∴A点坐标为(1,2),
设过点A的反比例函数解析式为y=
k |
x |
把A(1,2)代入y=
k |
x |
∴过点A的反比例函数解析式为y=
2 |
x |
(3)直线AB与OM垂直.理由如下:
把x=4代入y=
2 |
x |
1 |
2 |
∴B点坐标为(4,
1 |
2 |
∴BF=2-
1 |
2 |
3 |
2 |
而A点坐标为(1,2),
∴AG=1,AF=4-1=3,
∴OG:AF=2:3,GA:FB=1:
3 |
2 |
∴OG:AF=GA:FB,
而∠OGA=∠F,
∴△OGA∽△AFB,
∴∠GAO=∠ABF,
∵∠ABF+∠BAF=90°,
∴∠GAO+∠BAF=90°,
∴∠OAB=90°,
∴直线AB与OM垂直.
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