题目内容：

如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=

3

4

，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．

（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

优质解答

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，cot∠ADB=

AD

AB

=

3

4

，AB=16，
∴AD=12∴BD=

AD2+AB2

=20；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴

S△DEF

S△BDE

=(

DE

BD

)2，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x-12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，DE=

162+(x-12)2

=

x2-24x+400

，
∵S△BDE=

1

2

×BE×CD=

1

2

•x•16=8x，
∴

y

8x

=(

x2-24x+400

20

)2，
∴y=

x3-24x2+400x

50

，定义域为0<x≤24
（3）∵△EDF∽△BDE，
∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，
①当BE=BD时
∵BD=20，∴BE=20
②当DE=DB时，
∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，
∴BE=24；
③当EB=ED时，
作EH⊥BD于H，则BH=

1

2

BD=10，cos∠HBE=cos∠ADB，
即

AD

BD

=

BH

BE

∴

12

20

=

10

BE

，
解得：BE=

50

3

；
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或

50

3

．