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四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=2,AB=AC.(I)取CD的中点为
题目内容:
四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=2
,AB=AC.
(I)取CD的中点为F,AE的中点为G,证明:FG∥面ABC;
(II)证明:AD⊥CE.
优质解答
(I)证明:取AB中点H,连接GH,CH
因为G是AE中点,所以HG∥=1 2
BE,又因为矩形BCDE,所以BE∥=CD,且F是CD中点,
所以HG∥=CF,所以四边形FGHC是平行四边形,所以FG∥CH,
又因为FG⊄平面ABC,CH⊂平面ABC,所以FG∥面ABC;
(II)取BC中点Q,连接AQ,DQ
因为AC=AB,所以AQ⊥BC,
因为侧面ABC⊥底面BCDE,AQ⊂平面ABC,平面ABC∩平面BCDE=BC,
所以AQ⊥平面BCDE,
因为CE⊂平面BCD,所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中,BC=2,CD=2
,BE=2
,CQ=1,所以BC CD
=BE CQ
=2
所以Rt△CDQ∽Rt△BCE,所以∠DQC=∠CEB,
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°,所以CE⊥DQ
因为AQ∩DQ=Q,且AQ,DQ⊂平面ADQ,所以CE⊥平面ADQ,
AD⊂平面ADQ,所以AD⊥CE
2 |
(I)取CD的中点为F,AE的中点为G,证明:FG∥面ABC;
(II)证明:AD⊥CE.
优质解答
因为G是AE中点,所以HG∥=
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所以HG∥=CF,所以四边形FGHC是平行四边形,所以FG∥CH,
又因为FG⊄平面ABC,CH⊂平面ABC,所以FG∥面ABC;
(II)取BC中点Q,连接AQ,DQ
因为AC=AB,所以AQ⊥BC,
因为侧面ABC⊥底面BCDE,AQ⊂平面ABC,平面ABC∩平面BCDE=BC,
所以AQ⊥平面BCDE,
因为CE⊂平面BCD,所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中,BC=2,CD=
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BC |
CD |
BE |
CQ |
2 |
所以Rt△CDQ∽Rt△BCE,所以∠DQC=∠CEB,
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°,所以CE⊥DQ
因为AQ∩DQ=Q,且AQ,DQ⊂平面ADQ,所以CE⊥平面ADQ,
AD⊂平面ADQ,所以AD⊥CE
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