题目内容：

矩形ABCD中，点P是AD边上一动点，连接PB、PC
（1）如图1，若AB=3，PD=4，∠BPC为直角．求AP；
（2）如图2，若BC=2AB，当BP+CP最小时．求∠BPC的度数；
（3）如图3．若AB=6，BC=8．将矩形ABCD沿PF折叠，使点B与点D重合，点A与点E重合，在射线BA取一点H，连接HP、HF，求：|HF-HP|的最大值，并求出当|HF-HP|最大时AH的长度．

优质解答

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠ABP+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC，
∴

AP

DC

=

AB

PD

，
∵CD=AB=3，PD=4，
∴

AP

3

=

3

4

，
∴AP=

9

4

．

（2）如图2中，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于点P，此时PB+PC最小（PB+PC=PE+PC=EC，两点之间线段最短）

∵AB=AE=CD，BC=2AB，AE∥CD，
∴∠E=∠PCD，BC=BE，
在△APE和△DPC中，

∠APE=∠CPD ∠E=∠PCD AE=CD

，
∴△APE≌△DPC，
∴PE=PC，∵BC=BE，
∴BP⊥CE，
∴∠BPC=90°．

（3）如图3中，延长FP交BA的延长线于H，连接BD交PF于点O．
此时|FH-PH|的值最大，理由FH-PH≤PF，当H、P、F三点共线时，FH-PH=PF，所以此时|FH-PH|的值最大．

∵四边形PFDE是由四边形PFBA翻折得到，
∴OB=OD，BF=DF，设BF=DF=x，
在Rt△DFC中，∵DF²=CD²+CF²，
∴x²=6²+（8-x）²，
∴x=

25

4

，
∵PD∥BF，
∴∠PDB=∠FBD，
在△POD和△FOB中，

∠PDO=∠FBO ∠POD=∠BOF DO=OB

，
∴△POD≌△FOB，
∴PD=BF=

25

4

，
∴AP=AD-PD=8-

25

4

=

7

4

，
∵AP∥BF，
∴

AP

BF

=

AH

AH+AB

，
∴

7 4

25 4

=

AH

AH+6

，
∴AH=

7

3

．