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如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动,点Q从点C
题目内容:
如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动,点Q从点C开始沿CA边以每秒2 cm的速度向点A运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交BC于点E.点P,Q分别从B,C两点同时出发,当点Q运动到点A时,点Q、p停止运动,设它们运动的时间为x cm.
(1)当x=______秒时,射线DE经过点C;
(2)当点Q运动时,设四边形ABPQ的面积为ycm2,求y与x的函数关系式(不用写出自变量取值范围);
(3)当点Q运动时,是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.优质解答
(1)x=2;
当DE经过点C时,∵DE⊥PQ,PD=QD,
∴PC=CQ,PC=6-x,CQ=2x,
即6-x=2x,得x=2,
∴当x=2时,当DE经过点C;
(2)分别过点Q、A作QN⊥BC,AM⊥BC垂足为M、N.
∵AB=AC=5cm,BC=6cm,
∴AM=52−32
=4(cm),
∵QN∥AM,
∴△QNC∽△AMC,
∴QN AM
=CQ CA
,即QN 4
=2x 5
,
∴QN=8 5
x,
又PC=6-x,
∴S△PCQ=1 2
PC•QN=1 2
(6−x)•8 5
x,
∴y=S△ABC-S△PCQ=1 2
×6×4-1 2
(6−x)•8 5
x,
即y=4 5
x2−24 5
x+12;
(3)存在.
理由如下:
∵DE⊥PQ,
∴PQ⊥AC时△PQC∽△PDE
此时,△PQC∽△AMC
∴QC MC
=PC AC
即2x 3
=6−x 5
∴x=18 13
.
(1)当x=______秒时,射线DE经过点C;
(2)当点Q运动时,设四边形ABPQ的面积为ycm2,求y与x的函数关系式(不用写出自变量取值范围);
(3)当点Q运动时,是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
优质解答
当DE经过点C时,∵DE⊥PQ,PD=QD,
∴PC=CQ,PC=6-x,CQ=2x,
即6-x=2x,得x=2,
∴当x=2时,当DE经过点C;
(2)分别过点Q、A作QN⊥BC,AM⊥BC垂足为M、N.
∵AB=AC=5cm,BC=6cm,
∴AM=
52−32 |
∵QN∥AM,
∴△QNC∽△AMC,
∴
QN |
AM |
CQ |
CA |
QN |
4 |
2x |
5 |
∴QN=
8 |
5 |
又PC=6-x,
∴S△PCQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
8 |
5 |
∴y=S△ABC-S△PCQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
8 |
5 |
即y=
4 |
5 |
24 |
5 |
(3)存在.
理由如下:
∵DE⊥PQ,
∴PQ⊥AC时△PQC∽△PDE
此时,△PQC∽△AMC
∴
QC |
MC |
PC |
AC |
2x |
3 |
6−x |
5 |
∴x=
18 |
13 |
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