题目内容：

在平面直角坐标系XOY 中,已知二次函数y=ax²+bx+c 的图象与x 轴交于AB 两点（点A 在点B 的左边）,
与y 轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点 和 ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合）,则是否存在这样的直线 ,使得以 为顶点的三角形与 相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在,请说明理由；
且过点（2,3）（-3，-12）
若直线 y=kx与线段BC 交于点D （不与点B,C 重合），则是否存在这样的直线 使得以 BOD为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

优质解答

1、由于顶点横坐标为1,所以函数可以写成：y=a（x-1）²+b,
再将点（2,3）及（-3,-12）代人,可以得出a=-1,b=4,
所以函数的表达式为y=-x²+2x+3.
2、从题意可以得出该直线有2种情况：
①是该直线平行与ac,斜率相等,而ac的斜率=（3-0）/（0+1）=3,
所以该直线为y=3x,
另外由B、C的坐标可以得出bc的表达式y=-x+3,
联立可以得出D点坐标为（3/4,9/4）
②是该直线的倾角=∠ACB
△ABC中ac=√10,bc=3√2,ab=4
余弦定理有ab²=ac²+bc²-2ac*bc*cos∠ACB
即16=10+18-12*√5*cos∠ACB
cos∠ACB=1/√5,tan∠ACB=2=k
所以该直线为y=2x,
同理和bc的表达式y=-x+3联立
可以得出D点坐标为（1,2）
所以最终可以知道该直线有2条：y=3x或y=2x,相应D点坐标为（3/4,9/4）或（1,2）
这种方法是希望你了解函数和图形的特点,找到它们的规律,而不是拿到就死算.