题目内容：

已知函数f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数f（x）的图象上
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）设b_n=

3

an•an+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

优质解答

证明：（1）由题意得，S_n=3n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
当n=1时，a₁=S₁=1，符合上式，
所以a_n=6n-5，
则数列{a_n}以6为公差、1为首项的等差数列；
（2）由（1）得，a_n=6n-5，
所以b_n=

3

an•an+1

=

3

(6n−5)(6n+1)

=

1

2

（

1

6n−5

−

1

6n+1

），
则T_n=

1

2

[（1-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

6n−5

−

1

6n+1

）]
=

1

2

（1-

1

6n+1

）
因为n∈N^*，所以

1

6n+1

＞0，即T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

1

2

，
又T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立，
所以

m

20

≥

1

2

，则m≥10，
所以满足条件的最小正整数m为：10．