题目内容：

已知l是过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点的平面AB₁D₁与下底面ABCD所在平面的交线．

（1）求证：D₁B₁∥l；
（2）若AB=a，求l与D₁间的距离．

优质解答

（1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁B₁∥BD，
∵BD⊂平面ABCD，D₁B₁⊄平面ABCD
∴D₁B₁∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，
∴D₁B₁∥l．
（2） 在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连接D₁G，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得 D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥l，∵D₁D∩DG=D，∴l⊥平面D₁DG
∴D₁G⊥l，即D₁G的长即等于点D₁与l间的距离．
∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°．
∴DG=

2

2

a，在直角三角形D₁DG中，
则有 D₁G=

DG2+D1D2

=

1 2 a2+a2

=

6

2

a．