题目内容：

圆的方程 已知圆O:x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8),过点M作圆的切线,切点为C,D,求
已知圆O:x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8),过点M作圆的切线,切点为C,D,求切线长及CD所在直线的方程
切线长我会求,CD所在直线的方程怎么求?求详细的解题思路

优质解答

直接把点的坐标代入方程左端,再开方,就得切线长.
设P（x0,y0）是圆上任一点,则过P的圆的切线方程为 x0*x+y0*y-2(x0+x)+(y0+y)-3=0 .
把上述的 P 换成 M ,就得 CD 的方程为 4x-8y-2(4+x)+(-8+y)-3=0 ,
化简得 2x-7y-19=0 .
设 C（x1,y1）,D（x2,y2）,
则过 C 的切线方程为 x1*x+y1*y-2(x1+x)+(y1+y)-3=0 ,
因为它过 M ,所以 4x1-8y1-2(x1+4)+(y1-8)-3=0 ,
同理,可得 4x2-8y2-2(x2+4)+(y2-8)-3=0 ,
由以上两式可以看出,点 C、D 的坐标都满足方程 4x-8y-2(x+4)+(y-8)-3=0 ,
而它是一次方程,表示直线,所以它就是直线 CD 的方程 .

追问：

我高二刚学圆的方程，只学到圆x²+y²=r²上的点（x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r² 你讲的设P（x0，y0）是圆上任一点，则过P的圆的切线方程为 x0*x+y0*y-2(x0+x)+(y0+y)-3=0 还没学到 看不明白。麻烦解释一下

追答：

这是书上结论的推广，要记住的： （1）过圆 x^2+y^2=r^2 上任一点 P（x0，y0）的切线方程为 x0*x+y0*y=r^2 ； （2）过圆 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上任一点 P（x0，y0）的切线方程为 (x0-a)*(x-a)+(y0-b)*(y-b)=r^2 ；（也可写成 (x0-a)*(x-x0)+(y0-b)*(y-y0)=0 ） （3）过圆 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 上任一点 P（x0，y0）的切线方程为 x0*x+y0*y+D(x0+x)/2+E(y0+y)/2+F=0 。 这样的结论不仅对圆成立，对任意二次曲线都成立。 如 P（x0，y0）是抛物线 y^2=2px 上任一点，则过 P 的抛物线的切线方程为 y0*y=p(x0+x) 。

追问：

上面你讲的公式中的点P都是圆上的点,那M是圆外的点也可以直接代入吗

追答：

题目不是让求 CD 的方程吗？是的，只要把 M 的坐标代入切线方程，就是 CD 的方程。道理我在前面已解释过。