证明:若P^n中任意非零向量都是数域P上n级矩阵A的特征向量,则A必为数量矩阵
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证明:若P^n中任意非零向量都是数域P上n级矩阵A的特征向量,则A必为数量矩阵
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Ae1=a1e1,Ae2=a2e2,...,Aen=anen,其中a1,a2,...,an是特征值,e1,e2,...,en是单位阵的n个列,于是有AE=ED,其中D是对角元为a1,a2,...,an的对角阵.即A=D.再考虑(ei+ej)是A的特征值,可知ai=aj,即所有的对角元相等.
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