题目内容：

已知函数f（x）=x³+ax²-2x-3．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数？若存在，试求出a的范围；若不存在，请说明理由．

优质解答

（1）由已知有f′（x）=3x²+2ax-2，f'（1）=0，∴a＝−

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2

（2）令f'（x）=3x²+2ax-2=0，∵△=4a²+24＞0，∴方程有两个不等实根，分别记为x₁，x₂，又x1x2＝−

2

3

＜0
所以在(

1

3

，

1

2

)内方程f'（x）=3x²+2ax-2=0不可能有两个解
故要使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数的充要条件是

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解得a＞

5

2

所以存在实数a＞

5

2

，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是单调递增函数