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如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
题目内容:
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
优质解答
证明:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:
在△EDF和△GDF中
DF=DF ∠EDF=∠FDG=90° DG=DE
,
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
BD=DC ∠BDE=∠CDG
,
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2.
优质解答
在△EDF和△GDF中
|
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
|
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2.
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