题目内容：

在三角形ABC中,∠C=三角形ABC中,∠C=90°,AC=6. tanB=3/4,
D是BC的中点,E为AB边上的一个动点,做角DEF=90,EF交射线BC于点F.设BE=x,三角形BED的面积为y
1)求y关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围
2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切,求线段BE的长
3）如果以BEF为顶点的三角形与三角形BED相似,求三角形BED的面积

优质解答

（1）∵在△ABC中,∠C=90°,AC=6,tanB=3/4,
∴BC=8,AB=10,
∴CD=DB=4．
过点E作EH⊥CB于H．
则可求得EH=3x/5 ．
∴y=1/2×4× 3x/5=6x/5（0＜x≤16/5或5＜x≤10）．
（2）取AE的中点O,过点O作OG⊥BC于G,连接OD．
则OG=3/5 OB=3/5×(10+x)/2=3(10+x)/10 ,GD=CD-CG=4-2/5（10-x）=2x/5,
∴OD= √[9/100(10+x)^2+4x^2/25]．
若两圆外切,则可得1/2 BC+ 1/2AE=OD,
∴（BC+AE）^2=4OD^2,
∴（8+10-x）^2=4[ 9/100（10+x）^2+ 4x^2/25]
解得x=20/3．
若两圆内切,得| 1/2BC- 1/2AE|=OD,
∴（BC-AE）^2=4OD^2,
∴（8-10+x）^2=4[ 9/100（10+x）^2+ 4x^2/25]
解得x=-20/7（舍去）,所以两圆内切不存在．
所以,线段BE的长为20/3．
（3）由题意知∠BEF≠90°,故可以分两种情况．
①当∠BEF为锐角时,
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似,又知∠EBF=∠DBE,∠BEF＜∠BED,所以∠BEF=∠BDE．
过点D作DM⊥BA于M,过E作EH⊥BC于H．
根据等角的余角相等,可证得∠MDE=∠HDE,
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=16/5-x,
由（1）知：EH= 3x/5,
∴ 16/5-x=3x/5,
∴x=2．
∴y= 6/5×2=12/5．
②当∠BEF为钝角时,同理可求得x-16/5=3x/5
∴x=8．
∴y= 5/5×8=48/5．
所以,△BED的面积的面积是12/5或48/5．