已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;
2020-11-07 126次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,
=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
优质解答
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,
由已知得,解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].
由已知=λ2及点P在椭圆C上,可得=λ2,
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①λ=时,化简得9y2=112.
所以点M的轨迹方程为y=±(-4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.
②λ≠时,方程变形为+=1,
其中x∈[-4,4];
当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.
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