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已知点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,C是直线n上一点,且∠ABC=90°,点E在AC的延长线上,BC=kAB&
题目内容:
已知点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,C是直线n上一点,且∠ABC=90°,点E在AC的延长线上,BC=kAB (k≠0).
(1)当k=1时,在图(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.写出线段EF与EB的数量关系,并加以证明;
(2)若k≠1,如图(2),∠BEF=∠ABC,其它条件不变,探究线段EF与EB的数量关系,并说明理由.优质解答
(1)正确画出图形,
EF=EB.
证明:如图(1),在直线m上截取AM=AB,连接ME.
BC=kAB,k=1,
∴BC=AB,
∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
∵m∥n,
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,
∠FAB=90°,
∵AE=AE,
∴△MAE≌△BAE,
∴EM=EB,∠AME=∠ABE,
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠FAB+∠BEF=180°,
∴∠ABE+∠EFA=180°,
又∵∠AME+∠EMF=180°,
∴∠EMF=∠EFA,
∴EM=EF,
∴EF=EB;
(2)EF=1 k
EB.
说明:如图(2),过点E作EM⊥m,EN⊥AB,垂足为M,N,
∴∠EMF=∠ENA=90°,
∵m∥n,∠ABC=90°,
∴∠MAB=90°,
∴四边形MENA为矩形,
∴ME=NA,∠MEN=90°,
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠MEF=∠NEB,
∴△MEF∽△NEB,
∴ME EN
=EF EB
,
∴AN EN
=EF EB
,
在Rt△ANE和Rt△ABC中,
tan∠BAC=EN AN
=BC AB
=k,
∴EF=1 k
EB.
(1)当k=1时,在图(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.写出线段EF与EB的数量关系,并加以证明;
(2)若k≠1,如图(2),∠BEF=∠ABC,其它条件不变,探究线段EF与EB的数量关系,并说明理由.
优质解答
EF=EB.
证明:如图(1),在直线m上截取AM=AB,连接ME.
BC=kAB,k=1,
∴BC=AB,
∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
∵m∥n,
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,
∠FAB=90°,
∵AE=AE,
∴△MAE≌△BAE,
∴EM=EB,∠AME=∠ABE,
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠FAB+∠BEF=180°,
∴∠ABE+∠EFA=180°,
又∵∠AME+∠EMF=180°,
∴∠EMF=∠EFA,
∴EM=EF,
∴EF=EB;
(2)EF=
1 |
k |
说明:如图(2),过点E作EM⊥m,EN⊥AB,垂足为M,N,
∴∠EMF=∠ENA=90°,
∵m∥n,∠ABC=90°,
∴∠MAB=90°,
∴四边形MENA为矩形,
∴ME=NA,∠MEN=90°,
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠MEF=∠NEB,
∴△MEF∽△NEB,
∴
ME |
EN |
EF |
EB |
∴
AN |
EN |
EF |
EB |
在Rt△ANE和Rt△ABC中,
tan∠BAC=
EN |
AN |
BC |
AB |
∴EF=
1 |
k |
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