如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,AD=2,E为BC的中点 (1)求点A到面A1DE的距离
2021-01-24 133次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
如图,长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AA
1=,AB=1,AD=2,E为BC的中点
(1)求点A到面A
1DE的距离;
(2)设△A
1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得
=
λ且MG⊥平面A
1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
优质解答
如图,
(1)由题意求得AE=,DE=,又AD=2,∴AE2+ED2=AD2,
∴AE⊥DE.
又DE⊥AA1,AA1∩AE=A,AA1⊂面A1AE,AE⊂面A1AE,
∴DE⊥面A1AE,∴平面A1AE⊥平面A1ED,
∵A1A=AE=,
取A1E的中点H,AH⊥A1E,AH⊥DE,A1E∩ED=E,A1E⊂面A1DE,
ED⊂面A1DE,
∴AH⊥面A1DE,
AH为点A到面A1DE的距离.
∵AH=1,∴点A到面A1DE的距离为1
(2)在三角形A1ED中,∵H是A1E的中点,G为三角形A1ED的重心,
又∵AH⊥面A1ED,过点G作GM∥AH交AD于M,
则MG⊥A1ED,且AM=AD,
故存在实数λ=,使得=λ,且MG⊥平面A1ED同时成立.
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