已知x=1是函数f(x)=13ax3−32x2+(a+1)x+5的一个极值点.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若曲线
2021-05-06 60次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
已知x=1是函数
f(x)=ax3−x2+(a+1)x+5的一个极值点.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实数m的取值范围.
优质解答
(I)f′(x)=ax2-3x2+a+1
由f′(1)=0得:a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)=x3−x2+2x+5
(II)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点
即x3−x2+2x+5-2x-m=0有三个根
即g(x)=x3−x2+5−m有三个零点
由g′(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3
由g′(x)>0得x<0或x>3,由g′(x)<0得0<x<3
∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数
要使g(x)有三个零点,
只需即
解得:<m<5
本题链接: