题目内容：

（2007•连云港）如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C在坐标轴上,OA=60cm,OC=80cm．动点P从点O出发,以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动,到达点C即停止．设点P运动的时间为ts．
（1）过点P作对角线OB的垂线,垂足为点T．求PT的长y与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围；
（2）在点P运动过程中,当点O关于直线AP的对称点O'恰好落在对角线OB上时,求此时直线AP的函数解析式；
（3）探索：以A,P,T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的14
请说明理由．

优质解答

（1）在矩形OABC中,
因为OA=60,OC=80,
所以OB=AC= 602+802 =100．
因为PT⊥OB,
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因为PT BC =OP OB ,即PT 60 =5t 100 ,
所以y=PT=3t．
当点P运动到C点时即停止运动,此时t的最大值为80 5 =16．
（2）（如图2）当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时,A,T,P三点在
一条直线上．
所以AP⊥OB,∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB,
所以OP CB =AO OC ．
所以OP=45．
所以点P的坐标为（45,0）．
设直线AP的函数解析式为y=kx+b．
将点A（0,60）和点P（45,0）代入解析式,
得 60=0+b 0=45k+b ,
解这个方程组得 k=-4 3 b=60 ．
所以此时直线AP的函数解析式是y=-4 3 x+60．
（3）由（2）知,当t=45 5 =9时,A,T,P三点在一条直线上,此时点A,T,P不构
成三角形．
所以分两种情况：
1、当0＜t＜9时,点T位于△AOP的内部（如图1）,过A点作AE⊥OB,垂足为点E,
由AO•AB=OB•AE可得AE=48．
所以S△APT=S△AOP-S△ATO-S△OTP=1 2 ×60×5t-1 2 ×4t×48-1 2 ×4t×3t=-6t2+54t．
若S△APT=1 4 S矩形OABC,
则-6t2+54t=1200,即t2-9t+200=0．
此时,△=（-9）2-4×1×200＜0,
所以该方程无实数根．
所以当0＜t＜9时,以A,P,T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的1 4 ．
2、当9＜t≤16时,点T位于△AOP的外部．
此时S△APT=S△ATO+S△OTP-S△AOP=6t2-54t．
若S△APT=1 4 S矩OABC,
则6t2-54t=1200,即t2-9t-200=0．
解得t1=9+ 881 2 ,t2=9- 881 2 ＜0（舍去）．
由于881＞625=252,
所以t=9+ 881 2 ＞9+ 625 2 =17．
而此时9＜t≤16,
所以t=9+ 881 2 也不符合题意,应舍去．
所以当9＜t≤16时,以A,P,T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的1 4 ．
综上所述,以A,P,T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的1 4 ．