设实数x,y满足方程：x^+y^-8x-6y+21=0,求：（1）2x-y的取值范围（2）x^+y^-10x+2y+2

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设实数x,y满足方程：x^+y^-8x-6y+21=0,求：（1）2x-y的取值范围（2）x^+y^-10x+2y+2

2022-09-25 19:32:53 14次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设实数x,y满足方程：x^+y^-8x-6y+21=0,求：（1）2x-y的取值范围（2）x^+y^-10x+2y+26的取值范围,
设实数x,y满足方程：x^+y^-8x-6y+21=0,求：（1）2x-y的取值范围（2）x^+y^-10x+2y+26的取值范围,

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

x^2+y^2-8x-6y+21=0
配方,有：
x^2-8x+16+y^2-6y+9=4
(x-4)^2+(y-3)^2=4
这是一个以(4,3)为圆心,2为半径的圆
令 x-4=2sina
y-3=2cosa (0<=a<=2π)
则 x=2sina+4
y=2cosa+3
则 2x-y=4sina+8-(2cosa+3)
=4sina-2cosa+5
=2√5*sin(a-b)+5
其中 tanb=1/2
上式在 (0<=a<=2π)时的最大值是 2√5+5,最小值是 -2√5+5
所以 2x-y的范围是 [-2√5+5,2√5+5]
(2)
设x^2+y^2-10x+2y+26
=(x-5)^2+(y+1)^2
设 (x-5)^2+(y+1)^2=R^2,R>=0 则它表示的就是以(5,-1）圆心,R为半径的圆
在已知道条件(x-4)^2+(y-3)^2=4的约束下求这个R的范围,其实就是求两圆有交点时,R的取值范围.
我们知道两圆的圆心距是 (5,-1)和(4,3)的距离
=√((5-4)^2+(-1-3)^2)=√17
半径分别是 R和r,且r=2
根据圆与圆之间相交时半径的关系,有：
R+r>=√17
且 R-r<=√17
解得 √17-r<=R<=√17+r
即 √17-2<=R<=√17+2
所以原式的取值范围是 [√17-2,√17+2]
注：这两题都可以令表达式=k,然后解方程组,根据 △>=0来判断,但那样太麻烦,远没有现在这样简单.

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