设集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N*}，B={（x，y）|y=ax2-ax+a，x∈N*}，问是否存在非零整数

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**设集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N}，B={（x，y）|y=ax2-ax+a，x∈N}，问是否存在非零整数**

2022-08-20 06:49:34 9次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N^}，B={（x，y）|y=ax²-ax+a，x∈N^}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

假设A∩B≠∅，则方程组

y＝2x−1

y＝ax2−ax+a

有正整数解，
消去y，得ax²-（a+2）x+a+1=0．（*）
由△≥0，得（a+2）²-4a（a+1）≥0，解得-

2

3

3

≤a≤

2

3

3

．
因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1，而x∈N^*．故a≠-1．
当a=1时，代入（*），解得x=1或x=2，符合题意．
故存在a=1，使得A∩B≠∅，此时A∩B={（1，1），（2，3）}．

假设A∩B≠∅，则方程组

y＝2x−1

y＝ax2−ax+a

有正整数解，消去y得x的二次方程，则由△≥0得a的范围，根据a为非零整数求得a值，在把a代入上述二次方程求出x进行检验即可．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．

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